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试题内容

如图,延长AD至点E，使DE=DA，连接EP、EQ，

【资料图】

设CP与BA的交点为M,

∵点D是CP的中点,

∴DP=DC，

∵∠EDP=∠ADC，

∴△EDP≅△ADC，

∴∠MCA=∠EPQ，AC=EP，【X型全等】

∵点P、Q、C三点共线,

∴BQ⊥PC，

∵ ∠CMA=∠BMQ,∠MAC=∠MQB=90°，

∴ ∠MCA=∠ABQ，【八字型相似】

∴∠EPQ=∠ABQ，

∵AC=3,AB=6，

∴tan∠CBA=tan∠PBQ=(1/2)，

∴(AC/AB)=(EP/AB)=(1/2)=(PQ/BQ)，

∴△EPQ∼△ABQ，【手拉手型相似】

∴∠PQE=∠BQA，

∴∠PQE-∠EQB=∠BQA-∠EQB，

∴∠PQB=∠EQA=90°，

∴在Rt△EQA中,

QD=(1/2)AE=AD，【类比迁移部分】

∴CQ+PQ=2DP=2(QD+PQ)=2(AD+PQ)，

∴CQ -PQ=2AD.

第三问

瓜豆原理+点圆最值

线段AD的长度的最大值为[(3√5)+4]/2，理由如下：

作点C关于直线AB的对称点C"，连接C"P，

易证AD为△CC"P的中位线，

∴当C"P取得最大值时，AD取得最大值(1/2)C"P.【瓜豆现象】

①如左图,当BP=(1/3)AB=2时，

∵点P在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，

∴当C"、B、P三点共线时，C"P取得最大值，

在直角三角形AC"B中，

由勾股定理得：

C"B=(3√5),

∴C"P=C"B+BP=(3√5)+2，

∴ADmax=[(3√5)+2]/2.

②如右图,当BP=(2/3)AB=4时，

∵点P在以点B为圆心，4为半径的圆上运动，

∴当C"、B、P三点共线时，C"P取得最大值，

在直角三角形AC"B中，

由勾股定理得：

C"B=(3√5),

∴C"P=C"B+BP=(3√5)+4，

∴ADmax=[(3√5)+4]/2.

综上所述，当点P在靠近点A的三等分点处时,线段AD的长度取得最大值，

最大值为[(3√5)+4]/2.

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